Skripsi Matematika

BAB I

PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang

Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya (exact solution). Yang dimaksud dengan metode analitik adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan.

Sebagai ilustrasi, diberikan beberapa contoh berikut ini :

1.      Penyelesaian akar-akar persamaan polinom :

23,4x⁷ – 1,25x⁶ + 120x⁴ + 15x³ - 120x² - x + 100 = 0

2.      Pencarian harga x yang memenuhi persamaan:

3.      Penyelesaian sistem persamaaan linear :

1,2a - 3b - 12c + 12d + 4,8e – 5,5f + 100g = 18

0,9a + 3b - c + 16d + 8e - 5f - 10g = 17

4,6a + 3b - 6c - 2d + 4e + 6,5f - 13g = 19

2,2a + 3b + 17c + 6d + 12e – 7,5f + 18g = 9

5,9a + 3b + 11c + 9d - 5e - 25f - 10g = 0

1,6a + 3b + 1,8c + 12d -7e +2,5f + g =-5

(Susy, 2006 : 1-2)

Setelah melihat beberapa contoh ilustrasi di atas, kemungkinan besar cara analitik tidak dapat digunakan. Untuk polinom berderajat 2, masih bisa dicari akarnya menggunakan rumus abc yang sudah terkenal, yaitu :

Namun, untuk polinom yang berderajat lebih besar dari 2, tidak ada rumus aljabar untuk menghitung akar polinom tersebut. Alternatifnya adalah dengan memanipulasi polinom, misalnya dengan pemfaktoran atau menguraikan polinom tersebut menjadi perkalian beberapa suku. Semakin tinggi derajat polinom, jelas semakin sukar memfaktorkannya. Begitu juga untuk menyelesaian sistem persamaan linear. Apabila sistem persamaannya hanya berupa dua atau tiga garis lurus dengan dua atau tiga peubah, masih dapat ditemukan*solusinya (dalam hal ini titik potong kedua garis) dengan menggunakan rumus titik potong dua buah garis. Titik potong tersebut juga dapat ditemukan dengan menggambar kedua garis pada kertas grafik. Tetapi untuk sistem dengan jumlah persamaan dan jumlah peubah lebih besar dari tiga, tidak ada rumus yang dapat dipakai untuk memecahkannya. 

Contoh-contoh ilustrasi di atas memperlihatkan bahwa ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik.  Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian dari  menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5).

Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri juga relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan non-linear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat dibutuhkan untuk mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995 : 3). Selain mempercepat perhitungan numerik,  dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter (Susy, 2006 : 9).

Persamaan linear jika digambarkan pada sumbu kartesius berupa garis lurus. Sedangkan untuk persamaan non-linear jika digambarkan pada sumbu kartesius berupa kurva (garis  lengkung). Persamaan yang termasuk persamaan non-linear adalah persamaan polinomial, persamaan eksponensial, persamaan logaritmik, persamaan sinusoida, dan sebagainya (Munif, 1995 : 7). Sebagai contoh misalnya terdapat persamaan :  dengan daerah asal {x | -2 £ x £ 6, x Î R}. Persamaan tersebut jika digambarkan pada sumbu kartesius :

Dari gambar di atas terlihat jelas bahwa persamaan  jika digambarkan pada sumbu kartesius berupa kurva. Jika dicari nilai x yang memenuhi persamaan biasanya digunakan rumus abc, maka diperoleh x₁ = 0 dan x₂ = 4. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan ini pada gambar terlihat jelas yaitu titik potong garis dengan sumbu x.

Akan tetapi jika diilustrasikan untuk persamaan non-linear :         23,4x⁷ – 1,25x⁶ + 120x⁴ + 15x³ - 120x² - x + 100 = 0 maka rumus abc sudah tidak berlaku lagi, karena persamaan tersebut mempunyai pangkat yang lebih besar dari 2. Metode analitik tidak berlaku lagi karena terlalu memakan banyak waktu, tenaga dan pikiran. Jalan yang paling efektif dan efisien adalah dengan mengggunakan metode Numerik, karena hanya dengan beberapa langkah saja sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan. 

 Penyelesaian yang digunakan dalam metode Numerik adalah penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error). Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin. Langkah pertama yang dilakukan dalam penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Biseksi dan metode Regula Falsi adalah menetapkan nilai sebarang a sebagai batas atas dan nilai sebarang b sebagai batas bawah kemudian ditentukan nilai fungsi f(x) untuk x = a dan      x = b. Selanjutnya adalah memeriksa apakah f(a).f(b) < 0, apabila terpenuhi syarat tersebut berarti akar fungsi terdapat di antara a dan b. Jika tidak terpenuhi maka kembali harus menetapkan nilai sebarang a dan b sedemikian rupa sehingga ketentuan perkalian terpenuhi (Wibowo, 2007 : 1). Jika ketentuan perkalian terpenuhi maka selanjutnya adalah menentukan titik c (titik di antara a dan b). Untuk metode Biseksi menggunakan rumus  sedangkan untuk metode Regula Falsi menggunakan rumus . Langkah selanjutnya adalah mencari nilai c yang lain sehingga didapat error yang kecil atau sama dengan nol. 

Selain sederhana, metode Biseksi dan metode Regula Falsi mempunyai beberapa kelebihan yaitu proses iterasi lebih cepat, mudah untuk dibuat program dan tingkat kesalahan kecil. Untuk metode yang menghasilkan error kecil maka metode tersebut lebih teliti dibanding dengan metode lain. Dalam metode Numerik ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear, diantaranya metode Tabulasi, metode Biseksi, metode Regula Falsi, metode Iterasi bentuk x = g(x), metode Newton Rapson, metode Faktorisasi (P₃, P₄, P₅), metode Bairstow dan metode Quotient-Difference  (Q-D) (Munif, 1995 : 8).

Berdasarkan uraian di atas, tujuan utama penelitian ini adalah mempelajari penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi dan metode Regula Falsi Menggunakan Cara Komputasi serta mengetahui perbedaan kecepatannya dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

B.     Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka permasalahan dalam penelitian ini adalah :

1. Bagaimana penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi dengan program komputer.

2.  Bagaimana penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi dengan program komputer

3.  Bagaimana perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

C.     Pembatasan Masalah

Batasan masalah dalam penelitian ini adalah persamaan non-linear dalam bentuk polinomial satu variabel.

D.     Tujuan  Penelitian

Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari penelitian ini adalah :

1.  Membuat program komputer untuk menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi.

2.   Membuat program komputer untuk menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi.

3. Mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

E.     Manfaat Penelitian

Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari penelitian ini, diantaranya adalah :

1. Mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

2.      Memberi masukkan bagi peneliti yang ingin mempelajari lebih jauh tentang metode Numerik

BAB II

LANDASAN TEORI

A.     Persamaan Non-Linear

Persamaan merupakan kalimat terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan” (ditulis “=”) (Alamsyah, 1994 : 61). Persamaan Non-Linear adalah persamaan yang jika digambarkan dalam bidang kartesius berbentuk garis tidak lurus (berbentuk kurva).  Persamaan yang termasuk persamaan non-linear adalah persamaan polinomial, persamaan eksponensial, persamaan logaritmik, persamaan sinusoida, dan sebagainya (Munif, 1995 : 7). 

B.     Metode Numerik

Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan yang terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan  dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. 

Sebagai ilustrasi untuk persamaan non-linear berderajat lebih dari dua dapat dikatakan mempunyai penyelesaian yang tidak mudah bahkan dan tidak mungkin diselesaikan secara analitik.  Tetapi bukan berarti persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian, hanya saja menyelesaikan persamaan semacam itu sangat sulit dan kalaupun bisa memerlukan pengetahuan  matematis yang tinggi dan waktu yang cukup lama. Dengan dasar inilah dapat dikatakan bahwa diperlukan suatu metode tertentu yang dapat digunakan untuk menghitung persamaan tersebut. Meskipun metode tersebut tidak dapat menghasilkan nilai yang exact (tepat), setidak-tidaknya sudah mendekati nilai yang diharapkan. (Amang, 2006 : 1)

Penyelesaian persamaan non-linear adalah penentuan akar-akar persamaan non-linear. Dimana akar sebuah persamaan f(x) = 0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dengan garis y = 0.

C.     Penyelesaian Persamaan Non-Linear

Menurut Munif, A (1995 : 7) Persamaan y=f(x) dikatakan linear jika hubungan antara variabel x dan nilai fungsi y jika digambarkan pada sumbu kartesian menunjukkan garis lurus. Sedangkan yang tidak berbentuk garis lurus disebut persamaan non-linear. Misalnya persamaan polinomial, persamaan sinusoida, persamaan eksponensial, persamaan logaritmik dan sebagainya.

1.      Metode Biseksi

Metode ini mempunyai ciri dimana area dibagi menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan. 

             Cara Penyelesaian dari Metode Biseksi

Langkah Pertama menyelesaikan persamaan non-linear f(x) dengan metode Biseksi adalah menentukan dua titik f(x) awal yaitu f(x₁) dan f(x₂) dan harus memenuhi hubungan f(x₁).f(x₂) < 0.

Langkah Kedua adalah mencari nilai x₃ dengan persamaan :  kemudian mencari nilai f(x₃) nya.

Langkah Ketiga, melakukan iterasi untuk mendapatkan akar persamaan. Jika f(x₁).f(x₃) < 0 maka x₂ diganti x₃ dan akar terletak diantara x₁ dan x₃, tetapi jika f(x₁).f(x₃) > 0 maka x₁ diganti x₃ dan akar terletak diantara x₂ dan x₃.

2.      Metode Regula Falsi

Metode Regula Falsi adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. 

Cara Penyelesaian Metode Regula Falsi :

Langkah Pertama, menentukan dua titik f(x) awal, yaitu x₁ dan x₂ yang memenuhi persamaan f(x₁).f(x₂) < 0.

Langkah Kedua, mencari nilai x₃ dengan persamaan :  kemudian dicari nilai f(x₃) nya.

Langkah Ketiga, melakukan iterasi untuk mendapatkan akar persamaan. Jika f(x₁).f(x₃) < 0 maka x₂ diganti x₃ dan akar terletak diantara x₁ dan x₃, tetapi jika f(x₁).f(x₃) > 0 maka x₁ diganti x₃ dan akar terletak diantara x₂ dan x₃.

 (Munif, 1995 : 12)

D.     Bahasa Pemrograman Pascal

1.      Sejarah Pascal

Pascal adalah bahasa tingkat tinggi (high level language) yang bersifat umum dan dirancang oleh Profesor Niklaus Wirth dari Technical University di Zurich, Switzerland. Nama Pascal diambil sebagai penghargaan terhadap Blaise Pascal, ahli matematik dan philosphi terkenal abad ke-17, dari Perancis. Profesor Niklaus Wirth memperkenalkan kompiler bahasa Pascal pertama kali untuk komputer CDC 6000 (Control Data Corporation) yang dipublikasikan pada tahun 1971 dengan tujuan untuk membantu mengajar program komputer secara sistematis, khususnya untuk memperkenalkan pemrograman yang terstruktur (structured programming) (Jogianto, 1988_a : 1).;/div>

2.      Langkah-langkah dalam Pemrograman Komputer

Menurut Pranata (2000 : 4-7) Langkah-langkah yang harus dilakukan dalam pemrograman komputer adalah sebagai berikut :

a).   Mendefinisikan Masalah

Sebelum menginjak ke langkah yang kedua, mendefinisikan masalah merupakan langkah yang sangat penting yang berisi menentukan masalahnya seperti apa, apa saja yang harus dipecahkan dengan komputer, yang terakhir adalah apa masukkannya dan bagaimana keluarannya.

b).   Menentukan Solusi

Setelah masalah didefinisikan dengan jelas, masukkan apa yang diberikan sudah jelas, keluaran apa yang diinginkan sudah jelas  langkah selanjutnya adalah menentukan bagaimana masalah tersebut diselesaikan. Apabila masalah yang dihadapi terlalu kompleks, kita bisa membaginya ke dalam beberapa bagian kecil agar lebih mudah dalam penyelasaiannya.

c).   Memilih Algoritma

Dalam memilih algoritma untuk sebuah program kita harus menentukannya dengan tepat. Karena pemilihan program yang salah akan menyebabkan program memiliki unjuk kerja yang kurang baik.

d).   Menulis Program

Dalam langkah ini kita sudah mulai menuliskan program komputer untuk memecahkan masalah yang ada. Dalam menulis program kita juga akan melakukan pemilihan terhadap bahasa pemrograman yang akan digunakan. Ada beberapa hal yang harus dipertimbangkan saat memilih bahasa pemrograman, antara lain masalah yang dihadapi, bahasa pemrograman yang dikuasai, dan sebagainya.

e).   Menguji Program

Setelah program selesai ditulis, langkah selanjutnya adalah mengujinya. Pengujian pertama adalah apakah program berhasil dikompilasi dengan baik, Pengujian berikutnya apakah program dapat menampilkan keluaran yang diinginkan.

Program juga harus diuji untuk kasus yang berbeda, sering terjadi suatu program berjalan baik untuk kasus A, B, C tetapi menghasilkan sesuatu yang tidak diinginkan untuk kasus X, Y, dan Z.

f).   Menulis Dokumentasi

Langkah ini biasanya dilakukan bersamaan dengan langkah menulis program tetapi tidak menutup kemungkinan ditulis pada setelah langkah terakhir. Menulis dokumentasi artinya pada setiap beberapa baris program ditambahkan komentar yang menjelaskan kegunaan dari suatu pernyataan.

g).   Merawat Program

Langkah ini dilakukan setelah program selesai dibuat dan*sudah digunakan oleh pengguna. Hal yang sering terjadi adalah munculnya bug yang sebelumnya tidak terdeteksi. Atau mungkin juga pengguna menginginkan tambahan suatu fasilitas baru. Apabila hal-hal ini terjadi, maka harus dilakukan revisi terhadap program.

3.      Struktur Program Pascal

Struktur dari suatu program Pascal terdiri dari sebuah judul program (program heading) dan suatu blok program (program block). Blok program di bagi lagi manjadi dua bagian, yaitu bagian deklarasi (declaration part) dan bagian badan program yang berisi pernyataan-pernyataan (statements). Bagian deklarasi dapat tersusun atas deklarasi label (labels), konstanta (constants), tipe (type), variabel (variables), prosedur (procedures) dan fungsi (functions) (Jogianto, 1988_a : 2).

Untuk mempermudah pembuatan program pascal, format program pascal disajikan sebagai berikut :

program <nama program>

   label <deklarasi>

   const <deklarasi>

   type <deklarasi>

   var <deklarasi>

   procedure dan function <deklarasi>

   begin          

        <pernyataan >;

        <pernyataan >;

        <pernyataan >;

        .

        .

        .

        <pernyataan >;

   end.

(Zaks, 1988 : 17)

4.      Pengambilan Keputusan

Sering kali pemakai dihadapkan pada permasalahan untuk pengambilan keputusan terhadap dua alternatif atau bahkan lebih. Pemakai dapat mengambil keputusan didasarkan oleh suatu kondisi yang telah dievaluasi terlebih dahulu. Hal serupa juga dilakukan oleh komputer. Untuk keperluan inilah Turbo Pascal menyediakan dua macam pernyataan:

a).    IF

Pernyataan IF ada beberapa bentuk, yaitu :

(1).    Pernyataan IF Sederhana

IF kondisi THEN             pernyataan

            Pada bentuk ini pernyataan hanya akan dijalankan kalau kondisi bernilai True.

(2).    Pernyataan IF – ELSE

IF kondisi THEN             pernyataan_1 ELSE             pernyataan_2

Pada bentuk ini pernyataan_1 hanya akan dijalankan kalau kondisi bernilai True (benar), pernyataan_2 hanya akan dijalankan kalau kondisi bernilai False (salah).

(2).   

IF kondisi_1 THEN     IF kondisi_2 THEN             pernyataan_1     ELSE             pernyataan_2

Pernyataan IF Bersara

Suatu pernyataan IF dapat mengandung pernyataan IF yang lain. Bentuk seperti ini disebut IF Bersarang (nested IF).

(Kadir , 2001 : 86-92)

b).    CASE

Pernyataan CASE biasanya dipakai pada pilihan berganda. Bentuk pernyataan ini :

	CASE nilai OF             daftar_nilai_1 : pernyataan_1; daftar_nilai_2 : pernyataan_2; … daftar_nilai_m : pernyataan_m ELSE             pernyataan_n END

(Kadir, 2001 : 96)

5.      Pengulangan (loop)

Pengulangan digunakan untuk menjalankan satu atau beberapa pernyataan sebanyak beberapa kali. Pengulangan memungkinkan menjalankan beberapa pernyataan hanya dengan menuliskan pernyataan tersebut satu kali saja.

a).    Pernyataan FOR

Pernyataan FOR biasanya digunakan untuk melakukan pengulangan yang jumlahnya diketahui sebelumnya. Bentuk umum pernyataan FOR adalah sebagai berikut :

FOR variabel := nilai_awal TO nilai_akhir DO             pernyataan

                       

Pernyataan FOR bisa juga digunakan untuk melakukan pengulangan dari bilangan yang lebih besar ke bilangan yang lebih kecil. Caranya adalah dengan mengganti kata kunci TO dengan DOWNTO.

FOR variabel := nilai_awal DOWNTO nilai_akhir DO             pernyataan

 

b).    Pernyataan FOR Bersarang

Pernyataan FOR yang berada di dalam FOR disebut FOR Bersarang (nested FOR).

c).    WHILE

Pernyataan WHILE biasa digunakan untuk pengulangan yang belum diketahui secara pasti berapa banyak akan mengulang pernyataan-pernyataan.

	WHILE kondisi DO BEGIN             pernyataan END

 

d).    Pernyataan REPEAT - UNTIL

Pernyataan REPEAT –UNTIL digunakan bila jumlah pengulangan belum dapat ditentukan pada saat program ditulis. Kondisi REPEAT – UNTIL dicek pada akhir kalang. Bentuk pernyataaan REPEAT :

	REPEAT {pernyataan-pernyataan yang akan diulang} UNTIL kondisi

 

(Pranata, 2002 : 85-87)

6.      Keunggulan Bahasa Pascal

Menurut Zaks, R (1998 : 2-3) Bahasa Pascal telah dirancang untuk mempermudah pengubahan algoritma menjadi program, demikian pula halnya dengan susunan dan penyajian struktur datanya. Pascal berkembang dari pencarian suatu bahasa pemrograman bersifat lengkap, namun sederhana untuk dipelajari dan mudah diimplementasikan ke program komputer dengan memori yang cukup kecil dan dapat dijalankan lewat mode DOS.

 BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A.    Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Laboratorium Pengembangan Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purwokerto.

B.     Alat Penelitian

Alat yang digunakan dalam penelitian ini adalah satu unit komputer dengan spesifikasi :

Processor   : Intel(R) Pentium(R) 4 CPU 1.80GHz

RAM         : 256 MB RAM

Hardisk     : 40 GB Maxtor

C.    Langkah-langkah Penelitian

Penelitian ini menggunakan metode studi literatur yang kemudian diimplementasikan ke dalam program komputer menggunakan bahasa pemrograman Turbo Pascal 7.1. Langkah-langkah yang dilakukan dalam pembuatan program pada penelitian ini adalah sebagai berikut :

1.      Mengidentifikasikan Masalah
                          Masalah pada penelitian ini adalah mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi dengan cara membandingkan selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n pada ke dua metode.

2.      Menentukan Solusi

Untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear yaitu dengan membandingkan selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n pada ke dua metode.

3.      Membuat Diagram Alir

Sebelum peneliti membuat program maka terlebih dahulu dibuat diagram alir. Diagram alir dibuat untuk mempermudah urutan langkah-langkah pembuatan program.

4.      Menulis Program

Berdasarkan diagram alir yang telah dibuat sebelumnya, maka permasalahan yang ada diimplementasikan ke dalam program komputer dengan menggunakan bahasa pemrograman Turbo Pascal 7.1.

5.      Menguji Program

Setelah program ditulis, program diuji dengan cara menjalankan (running) program untuk mengetahui kesalahan yang ada.

6.      Menulis Dokumentasi

Menambahkan dokumentasi berupa komentar-komentar pada program. Manfaatnya adalah agar pembaca program (user) dapat  mengetahui lebih jelas kegunaan dari setiap pernyataan yang ditulis dalam program.

D.    Membandingkan Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi

Pada tahap ini dilakukan pembandingan selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n untuk metode Biseksi dengan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear khususnya persamaan polinomial satu variabel.

Jika selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n untuk metode Biseksi lebih KECIL dari selisih metode Regula Falsi maka disimpulkan metode Biseksi lebih cepat dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi. Sebaliknya, jika selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n untuk metode Biseksi lebih BESAR dari selisih metode Regula Falsi maka disimpulkan metode Regula Falsi lebih cepat dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Penelitian ini menghasilkan diagram alir, kode program serta keluaran berupa tingkat ketelitian metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear satu variabel. 

A.    Diagram Alir

Diagram alir dibuat untuk mempermudah urutan langkah-langkah penyelesaian masalah. Adapun diagram alir yang dihasilkan secara garis besar terdiri dari :

       1.  Program Utama  

                     Dalam diagram alir untuk program utama berisi perintah untuk menentukan pilihan pada menu utama (masuk, bantuan dan keluar) serta  pilihan untuk memanggil prosedur penyelesaian metode biseksi, penyelesaian metode regula falsi, memasukan jumlah persamaan dan derajat tertinggi serta pernyataan untuk memanggil prosedur perbandingan utama.

         2.  Prosedur Penyelesaian Metode Biseksi

Dalam diagram alir ini berisi perhitungan penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Biseksi.

       3.  Prosedur Penyelesaian Metode Regula Falsi

Dalam diagram alir ini berisi perhitungan penyelesaian persamaan non-linear dengan menggunakan metode Regula Falsi

4. Prosedur Perbandingan Utama 

             Dalam diagram alir untuk prosedur perbandingan utama berisi perhitungan untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta perhitungan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.  

Diagram alir secara keseluruhan dapat dilihat pada lampiran 1.

B.    Kode Program

Kode program yang dihasilkan diberi nama “NUMERIK” yaitu program yang digunakan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menentukan akar penyelesaian persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi. Secara garis besar kode program ini terdiri dari :

1.      Program Utama

Dalam kode program untuk program utama berisi pernyataan untuk menampilkan menu utama, pernyataan untuk memanggil prosedur penyelesaian metode biseksi, penyelesaian metode regula falsi, memasukan jumlah persamaan dan derajat tertinggi serta pernyataan untuk memanggil prosedur perbandingan utama.

2.      Prosedur-prosedur

a).   Prosedur Tunggu

Prosedur tunggu menampilkan kondisi pada saat program Numerik sedang menyimpan file hasil perhitungan.

b).   Prosedur Judul

Prosedur judul menampilkan judul program pada setiap langkah-langkah program Numerik.

c).   Prosedur Bantuan

Prosedur bantuan menampilkan bantuan dari program.

d).  Prosedur Bye_bye

Prosedur bye_bye menampilkan kondisi pada saat keluar program.

e).   Prosedur Penyelesaian Metode Biseksi

Prosedur ini berisi perhitungan untuk menghitung persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi.

f).    Prosedur Penyelesaian Metode Regula Falsi

Prosedur ini berisi perhitungan untuk menghitung persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi.

g).   Prosedur Memasukkan Jumlah Persamaan dan Derajat Tertinggi

Prosedur ini berisi perintah untuk memasukkan jumlah persamaan dan derajat tertinggi dari persamaan non-linear. 

h).   Prosedur Tampil Derajat

Prosedur tampil derajat menampilkan jumlah persamaan dan derajat tertinggi pada setiap langkah-langkah program Numerik.

i).   Prosedur Pilihan Input

Prosedur ini berisi pilihan cara memasukkan data.

j).   Prosedur Perbandingan Utama

Dalam prosedur perhitungan utama berisi perhitungan untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta perhitungan untuk mengetahui perbedaan kecepatan antara metode Biseksi dan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi.

Kode program secara keseluruhan dapat dilihat pada lampiran 2.

C.    Hasil Keluaran

Pada saat pemanggilan pertama program, tampak MENU UTAMA :

Gambar 7. Tampilan Menu Utama

Jika pilihannya adalah 1 maka selanjutnya akan muncul pilihan untuk jenis penyelesaian persamaan non-linear.

Gambar 8. Tampilan Pilihan Jenis Penyelesaian

Setelah dipilih penyelesaian yang pertama yaitu penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Biseksi, selanjutnya muncul perintah untuk memasukan derajat tertinggi persamaan non-linear, koefisien dari x serta nilai awal x1 dan nilai awal x2.

Gambar 9. Tampilan Memasukkan Koefisien x dan Nilai Awal x1, x2

Apabila derajat tertinggi, koefisien dari x serta nilai awal x1 dan nilai awal x2 telah ditentukan, sebagai ilustrasi untuk derajat tertingginya adalah 3 nilai a = 1 (koefisien x³), b = 0 (koefisien x²), c = -7 (koefisien x¹), d = 1 (koefisien x⁰) dengan nilai x1 awal = 2,5 dan nilai x2 awal = 2,6. Selanjutnya akan ditampilkan hasil perhitungan menggunakan metode Biseksi.

Gambar 10. Tampilan Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Biseksi

Untuk pilihan penyelesaian yang kedua yaitu penyelesaian persamaan non-linear menggunakan metode Regula Falsi, tampilannya hampir sama dengan pilihan penyelesaian yang pertama, perbedaannya hanya pada nilai hasil perhitungan karena menggunakan rumus iterasi yang berbeda.

Gambar 11. Tampilan Hasil Perhitungan Menggunakan Metode Regula Falsi

Jika yang dipilih adalah penyelesaian yang ke tiga yaitu penyelesaian metode Biseksi dan metode Regula Falsi untuk mengetahui perbedaan kecepatan dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi, maka akan muncul perintah untuk memasukkan jumlah persamaan non-linear, pangkat tertinggi dan batas jumlah iterasi.

Gambar 12.  Tampilan Perintah Memasukkan Jumlah Persamaan dan Derajat

   Tertinggi serta Batas Jumlah Iterasi

Setelah jumlah dan pangkat tertinggi ditentukan sebagai ilustrasi jumlah persamaannya adalah 10 dengan derajat tertinggi 2, selanjutnya muncul pilihan cara memasukkan data yaitu data dimasukkan satu persatu dari keyboard atau data didapat dari angka random untuk menentukan koefisien dari x² (Nilai a), x¹ (Nilai b) dan x⁰ (Nilai c) serta dua nilai awal x1 dan x2.

Gambar 13. Tampilan Pilihan Memasukkan Data

Jika yang dipilih memasukkan data satu persatu, maka muncul perintah untuk memasukkan nilai koefisien dari x serta dua nilai awal x1 dan x2 sejumlah persamaan yang ditentukan sebelumnya. Tetapi jika yang dipilih adalah cara memasukkan berupa angka random maka program secara otomatis menentukan nilai koefisien dari x serta dua nilai awal x1 dan x2 sejumlah persamaan yang ditentukan sebelumnya.

Gambar 14. Tampilan Program Menentukan Koefisien serta Nilai x1 dan x2

 Awal dengan Angka Random

Pada saat program menentukan nilai x1 awal dan x2 awal, syarat yang harus dipenuhi adalah f(x1).f(x2)<0, jika tidak ditemukan nilai yang memenuhi persyaratan maka program akan menentukan nilai a, b, c, …, n yang baru.

Setelah semua persamaan non-linear mempunyai nilai koefisien dan nilai awal x1 dan x2 maka selanjutnya program melakukan perhitungan menggunakan rumus iterasi pada masing-masing metode. Pada metode Biseksi, langkah-langkahnya adalah :

1.  Menentukan nilai x3 dengan rumus  dan nilai f(x3)

2.  Jika f(x1).f(x3) < 0, maka akar berada pada selang x1 dan x3. Ulangi langkah ke 1 dengan x2 = x3.

3.  Jika f(x1).f(x3) > 0, maka akar berada pada selang x1 dan x2. Ulangi langkah ke 1 dengan x1 = x3.

4.  Jika f(x1).f(x3) = 0, maka akar persamaan non-linearnya adalah x3 dan perhitungan selesai.

Sedangkan pada metode Regula Falsi, langkah-langkahnya adalah :

1.  Menentukan nilai x3 dengan rumus  dan nilai f(x3)

2.  Jika f(x1).f(x3) < 0, maka akar berada pada selang x1 dan x3. Ulangi langkah ke 1 dengan x2 = x3.

3.  Jika f(x1).f(x3) > 0, maka akar berada pada selang x1 dan x2. Ulangi langkah ke 1 dengan x1 = x3.

4.  Jika f(x1).f(x3) = 0, maka akar persamaan non-linearnya adalah x3 dan perhitungan selesai.

Proses perhitungan pada kedua metode berjalan ketika pada layar monitor tampak 

Gambar 15. Tampilan Proses Iterasi Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi

Jika proses iterasi untuk metode Biseksi dan metode Regula Falsi sudah selesai, maka selanjutnya muncul pertanyaan apakah hasil perhitungan akan ditampilkan langsung pada layar monitor. Jika menginginkan langsung ditampilkan maka ketikkan ‘y’ atau ‘Y’ dan jika tidak ingin menampilkan hasilnya maka ketikkan ‘t’ atau ‘T’.

Gambar 16. Tampilan Pertanyaan Tampilkan Hasil Perhitungan

Setelah dipilih untuk menampilkan hasil perhitungan oleh metode Biseksi dan metode Regula Falsi dengan mengetikkan ‘y’ atau ‘Y’ maka selanjutnya akan ditampilkan nilai a, b, c, …, n serta nilai x1 awal dan nilai x2 awal untuk setiap persamaan. Selanjutnya akan ditampilkan pula salah satu akar pendekatan dan akar pada saat iterasi ke 10 serta kesimpulan yang didapat.

Gambar 17. Tampilan Koefisien serta Nilai x1 Awal dan x2 Awal Persamaan 

  ke 10

Gambar 18. Hasil Perhitungan berupa Salah-satu  akar Penyelesaian

Gambar 19. Hasil Perhitungan berupa Salah-satu  akar pada Iterasi ke 10

Gambar 20. Tampilan Kesimpulan

Setelah ditampilkan hasil perhitungan metode Biseksi dan metode Regula Falsi serta kesimpulannya, selanjutnya muncul pertanyaan apakah hasil perhitungan akan disimpan di file. Jika menginginkan hasil perhitungan disimpan maka ketikkan ‘y’ atau ‘Y’ selanjutnya ketikkan nama file untuk menyimpannya (misal nama filenya hasil).

Gambar 21. Tampilan Pertanyaan Simpan Hasil Perhitungan

Gambar 22. Tampilan Perintah Ketikkan Nama File

Gambar 23. Tampilan Keterangan Hasil Perhitungan Telah Disimpan 

 

Pertanyaan terakhir yang muncul adalah apakah akan mengulang menjalankan program. Jika menginginkan mengulangi dan melakukan perhitungan lagi maka ketikkan ‘y’ atau ‘Y’ dan program akan kembali ke MENU UTAMA.

Gambar 25. Tampilan Pertanyaan Apakah Akan Mengulang

Selanjutnya jika yang dipilih nomor 2 pada MENU UTAMA, maka akan muncul penjelasan tentang program NUMERIK. Tekan ENTER untuk kembali ke MENU UTAMA.

$3Cdiv align="center" class="MsoNormal" style="line-height: 200%; margin-left: 17.85pt; text-align: center; text-indent: .15pt;">
Gambar 26. Tampilan Penjelasan Program Numerik

Jika pada MENU UTAMA dipilih 3 maka program akan berhenti.

Gambar 27. Tampilan Terakhir Program Numerik

D.    Perbandingan Metode Biseksi dan Metode Regula Falsi

Setelah dilakukan perbandingan selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n untuk metode Biseksi dengan metode Regula Falsi dalam menyelesaikan persamaan non-linear khususnya persamaan polinomial satu variabel maka didapat data seperti pada tabel berikut (e = 1 x 10^-7 dan n = 10).

Tabel Hasil Perhitungan Selisih untuk Berbagai Jumlah Persamaan dan Derajat Tertinggi

Jumlah Persamaan	Derajat Tertinggi	Selisih rata-rata metode Biseksi	Selisih rata-rata metode Biseksi
100	2	0.0001115879	0.2696024492
75	2	0.0001893593	0.0229433158
50	4	0.0000367736	0.0148569387
50	2	0.0002691039	0.0081416507
25	4	0.0005576837	0.0917223574
25	2	0.0007035599	0.0277696914
10	4	0.0003280580	0.2511075020
10	2	0.0000933324	0.1053634945

Dari contoh-contoh keluaran di atas dengan jumlah persamaan dan derajat tertinggi yang berbeda-beda diperoleh selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n (iterasi ke 10) untuk metode Biseksi yang selalu lebih kecil dari selisih metode Regula Falsi. Karena selisih metode Biseksi selalu lebih kecil dari selisih metode Regula falsi maka dapat disimpulkan bahwa metode Biseksi lebih dari metode Regula Falsi karena hanya dengan 10 iterasi, akar metode Biseksi sudah mendekati akar pendekatannya.

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A.    Kesimpulan

Dari penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan :

1.  Telah dibuat program komputer yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear khususnya persamaan polinomial satu variabel dengan metode Biseksi. Hasil keluaran dari program yang telah dibuat berupa :

a.       Nilai salah satu akar pendekatan melalui beberapa iterasi sampai lebih kecil dari nilai error yang ditentukan

b.      Nilai error yang didapat

c.       Nilai fungsi dari salah satu akar pendekatan yang diperoleh.

2.  Telah dibuat program komputer yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non-linear khususnya persamaan polinomial satu variabel dengan metode Regula Falsi. Hasil keluaran dari program yang telah dibuat berupa :

a.       Nilai salah satu akar pendekatan melalui beberapa iterasi sampai lebih kecil dari nilai error yang ditentukan

b.      Nilai error yang didapat

c.       Nilai fungsi dari salah satu akar pendekatan yang diperoleh. 

3.   Dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari banyaknya iterasi, metode Biseksi lebih cepat dari metode Regula Falsi. Ini ditunjukan dengan melihat selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n metode Biseksi yang selalu lebih kecil dari selisih rata-rata akar pendekatan dengan rata-rata akar pada iterasi ke n metode regula Falsi.

B.    Saran

Setelah dilakukan penelitian ini, disarankan :

1.  Program yang telah dibuat dapat dimodifikasi supaya dapat menyelesaikan persamaan non-linear yang berupa persamaan eksponensial, persamaan logaritmik, persamaan sinusoida atau persamaan non-linear yang lain.
2.  Penulisan kode program bisa dilakukan dalam bahasa pemrograman komputer yang lain yang lebih bagus dalam hal grafik dan tingkat kemampuan pengoperasian digit angka.

DAFTAR PUSTAKA

Alamsyah, MK. 1994. Pelajaran Matematika 1 SMK. Bandung : Armico

Amang. 2006. BAB III. PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER. 
http://lecturer.eepis-its.edu/~amang/pdf/.
Diakses tanggal 15 November 2006.
Chapra, S. 1996. METODE NUMERIK Jilid 1 Edisi Kedua. Jakarta : Erlangga.

Jogiyanto, HM. 1988_a. TURBO PASCAL Versi 5.0 Jilid 1. Yogyakarta : ANDI Yogyakarta

Jogiyanto, HM. 1988_b. TURBO PASCAL Versi 5.0 Jilid 2. Yogyakarta : ANDI Yogyakarta

Kadir, Abdul. 1997. PEMROGRAMAN PASCAL (Buku 1). Yogyakarta : ANDI Yogyakarta

Munif, Abd. 1995. Cara Praktis Penguasaan dan Penggunaan Metode Numerik. Jakarta : PT. Guna Widya.

Pranata, Antony. 2002. Algoritma dan Pemrograman. Yogyakarta : J& J Learning

Ruseffendi. 1998. Statistika Dasar untuk Penelitian Pendidikan. Bandung : CV Andira. 
Susy. 2006. BAB 1. Metode Numerik Secara Umum. http://www.malang.ac.id/ e%2Dlearning/FMIPA/Susy%20KA/.
Diakses tanggal 15 November 2006.

Wibowo, dkk. 2007. AKAR PERSAMAAN (ROOT FINDING). http://ft.uns.ac.id/ts/kul_ol/numerik/numerik02_akar.htm
Diakses tanggal 02 Januari 2007.

Wirodikromo, Sartono. 2004. MATEMATIKA Untuk SMA Kelas X. Jakarta : Erlangga.

Zaks, Rodnay. 1988. Pengantar PASCAL Termasuk Torbo Pascal. Jakarta :  Erlangga